랭크란 임의의 행렬에서 선형독립(linearly independent)인 (열)벡터들의 최대갯수를 의미한다. 열공간은 열벡터들의 일차결합으로 생성되는 벡터공간이고 열공간의 기저는 선형독립인 벡터들의 집합들 중에서 원소의 갯수가 가장 많은 벡터들의 집합과 같으므로 행렬의 계수 = 열공간의 차원이 성립한다.
rank theorem
행렬에서의 랭크정리 : independent한 column의 수 = independent한 row의 수 또는 열공간의 차원 = 행공간의 차원 \[\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)\]
예제
\[\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&0&0
\end{pmatrix}\]
위에 있는 행렬에서 선형독립인 열벡터의 갯수 = 1이다. 또한 선형독립인 열벡터의 갯수 = 선형독립인 행벡터의 갯수 = 열공간의 차원 = 행공간의 차원이므로 랭크정리도 성립한다.
위와 같은 \(2 \times 3\) 행렬은 랭크보다 행,열의 갯수가 많이 부족하므로 rank-deficient 라고 한다.
\[\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}\]
위에 있는 행렬에서 선형독립인 열벡터의 갯수 = 2이다. 또한 선형독립인 열벡터의 갯수 = 선형독립인 행벡터의 갯수 = 열공간의 차원 = 행공간의 차원이므로 랭크정리도 성립한다.
위와 같은 행렬은 행의 갯수만큼 랭크가 다 차있으므로 full row rank라 한다.
용어정리
\(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\text{rank}(A) = n<m \Rightarrow\) 열벡터가 모두 선형독립,full column rank,위아래로 길쭉하고 양옆은 좁은 직사각행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\text{rank}(A) = n>m \Rightarrow\) 행벡터가 모두 선형독립,full row rank,위아래가 좁고 좌우 양옆으로 길쭉한 직사각행렬 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n},\text{rank}(A) = n \Rightarrow\) 행백터,열벡터가 모두 선형독립,full rank,위,아래,양,옆의 길이가 모두 같은 정사각행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n},\text{rank}(A) < \text{min}(n,m)\) = 선형종속인 행벡터,열벡터 반드시 존재,rank deficient
Null Space
행렬\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)의 영공간(Null Space,Kernel)은 \(Ax = 0\)을 만족하는 x의 집합이다. \[N(A) = \{x\in K^n | Ax = {\bf{0}}\}\]\(x\)는 체(field)라는 집합으로부터 n개의 원소(스칼라)를 가져와서 구성된 벡터이므로 위와같이 표기한다.
Rank - Nulity theoreom
\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 행렬에서 다음이 성립한다. \[\text{rank}(A) + \text{dim}(N(A)) = n \Longleftrightarrow \text{rank}(A) + \text{nulity}(A) = n\] 행렬의 랭크와 영공간의 합은 항상 행렬의 열의 갯수와 같다는 정리이다. 여기서 nulity는 영공간의 차원과 같다.(증명 생략)
예제1)
행렬 A = \(\begin{pmatrix}1&0&1 \\0&1&1\end{pmatrix}\)일 때, 행렬A의 영공간은?
먼저 만족하는 \(x\)를 찾아보자. 어떤 방법이던 사용가능하지만 문제가 간단하므로 직관적으로 풀이한다.
따라서 \(x\)의 스칼라배인 \(cx\)도 \(A\)와 곱해져서 \({\bf 0}\) 만들기 \(x\)의 스칼라배도 영공간의 원소이다.
rank-nulity theoreom도 성립함을 확인할 수 있다. 영공간의 차원은 영공간의 기저의 갯수인데 \([1,-1,1]^T\)이 기저의 조건인 1)선형생성 = 벡터공간 2)선형독립 이라는 두 조건을 만족하므로 차원은 1이다.랭크는 다른방식으로도 구할 수 있지만 행렬이 간단해서 바로2임을 확인할 수 있으므로 다음과 같다 \[\text{nulity}(A) + \text{rank}(A)= n \Longleftrightarrow 1 + 2 = 3\]
예제2)
행렬 A = \(\begin{pmatrix}1&2&3 \\0&0&0\end{pmatrix}\)일 때, 행렬A의 영공간은?
따라서 \(x\) 방정식을 만족하는 두 벡터의 선형조합인 \(c(x_1 + cx_2)\)도 \(A\)와 곱해져서 영공간의 원소임을 알 수 있다.
마찬가지로 rank-nulity theoreom도 성립함을 확인할 수 있다. 영공간의 차원은 영공간의 기저의 갯수이고 \([-2,1,0]^T,[-3,0,1]^T\)가 기저의 조건인 1)선형생성 = 벡터공간(여기서 영공간) 2)선형독립 이라는 두 조건을 만족하므로 영공간의 기저는 \([-2,1,0]^T,[-3,0,1]^T\)이고 차원은 2이다.랭크는 다른방식으로도 구할 수 있지만 행렬이 간단해서 바로1임을 확인할 수 있으므로 다음과 같다 \[\text{nulity}(A) + \text{rank}(A)= n \Longleftrightarrow 2 + 1 = 3\]
Null Space와 Row Space는 수직이다.
행렬 \(A = \begin{pmatrix}a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)와 벡터\(x \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)의 곱은 다음과 같이 내적으로 볼 수 있다.
